Investigadores del Instituto de Astrofísica de Andalucía (IAA-CSIC) han descubierto que la función gamma, una característica presente al inicio de la vida de las estrellas, desaparece durante su etapa adulta, pero que vuelve a emerger en sus etapas finales, cuando ya son estrellas de neutrones o enanas blancas. El estudio se publica en la revista Astronomy & Astrophysics.

En cierto sentido, las estrellas tienen 'recuerdos' de sus etapas iniciales. Así lo señala un estudio realizado por Antonio Claret, investigador del Instituto de Astrofísica de Andalucía (IAA-CSIC) con la colaboración del físico Matthias Hempel de la Universidad de Basilea (Suiza).

A lo largo de su vida, las estrellas sufren cambios en su masa, presión, composición y estructura interna para, al agotar su combustible y dependiendo de su masa inicial, evolucionar hacia un objeto compacto como una enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro.

En principio se podría pensar que esta agitada evolución, que incluye episodios explosivos como el de supernova en el caso de estrellas masivas, impediría a las estrellas conservar al final de su vida alguna 'memoria' o características de sus primeras etapas, pero no es así.

Según el estudio, que recogen dos artículos de la revista Astronomy & Astrophysics, se conserva un tipo de 'memoria' especial: la función gamma, que guarda relación con tres parámetros estelares.

Por un lado, la energía potencial de la estrella, que surge del hecho de que sea una esfera de gas autogravitante. Por otro, su momento de inercia, que describe su resistencia a girar y está ligado a cómo se distribuye la masa en su interior –algo parecido al caso de una patinadora, que puede modificar su velocidad de rotación estirando o contrayendo los brazos–. Y finalmente, el grado de compacidad.

"Hemos estudiado el comportamiento de gamma desde las primeras fases hasta los estadios finales de la evolución estelar y concluimos que, si bien dicha función es invariable hasta las primeras etapas de la secuencia principal, o etapa juvenil, después pierde por completo esa constancia durante la etapa adulta, varía drásticamente y puede tomar valores miles de veces mayores que al inicio de la vida de la estrella”, apunta Claret.

Pero lo verdaderamente fascinante reside en que, tras las fases finales de la etapa adulta y los procesos violentos que se producen cuando las estrellas agotan su combustible, cuando estas alcanzan su fase de objeto compacto –sea enana blanca o estrella de neutrones– recuperan ese valor constante que presentaban en su infancia.

"Es curioso que esta función se pierda para reaparecer en las fases finales. Parece comportarse como un fósil: después de virtualmente desaparecer, vuelve a escena y nos aporta información sobre el organismo original", señala el investigador.

El estudio indaga también en las razones por las que ese valor constante desaparezca para volver a surgir al final de la vida de las estrellas. Y se halla una correlación entre la cantidad de energía que se genera en el núcleo de una estrella y las variaciones en la función gamma. "Hemos extendido también esta investigación a planetas gigantes, de entre una y cincuenta veces la masa de Júpiter, y siguen la misma pauta, con la diferencia de que permanece constante a lo largo de toda su vida porque carecen de actividad nuclear. Parece realmente ser una función universal", apunta Claret.

De interés para las estrellas de neutrones

Esta investigación ha resultado de especial interés en el caso de las estrellas de neutrones, un tipo de objetos extremadamente compactos que pueden contener una masa equivalente a la del Sol concentrada en un diámetro aproximado de catorce kilómetros.

Estas estrellas constituyen un posible final en la vida de una estrella masiva que, tras expulsar todas sus capas en una explosión de supernova, solo conserva el núcleo. Si la masa de la estrella progenitora es menor que unas veinte masas solares dará lugar a una estrella de neutrones, mientras que si supera ese límite se contraerá hasta que su densidad se vuelva infinita y produzca finalmente un agujero negro.

"El hecho de que la función gamma se recupere incluso después de una explosión de supernova resulta sorprendente", afirma Claret. Gracias a este estudio, el investigador ha establecido un criterio de estabilidad para las estrellas de neutrones, que no solo define qué condiciones deben cumplir para conservar la estabilidad y no colapsar en un agujero negro, sino que además permitirá seleccionar, entre los modelos disponibles, cuál describe mejor la estructura interna de estos objetos.

"Actualmente estamos investigando las implicaciones de dichas propiedades en el umbral de la formación de agujeros negros", adelanta el investigador.

A medida que avanzamos hacia un futuro prometedor o cataclismico, encontramos a personajes superdotados que van superando a sus predecesores, pues esa evolucion la estamos empezando a ver en tan solo una niña de 3 años que tiene el IQ mas alto por el momento para su edad.

Bienvenidos Lectores en esta ocasión voy explicar una serie de Fundamentos que hay que tener en cuenta al resolver ejercicios geometricos y analiticos. Realizaremos una serie de ejercicios que abarcaran temas interesantes de esta gran materia y clase.

Primero que todo ¿Que es Geometria Analitica?

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas de análisis matemático y del álgebra en un determinado sistemas de coordenadas. 

Los dos Problemas Fundamentales de la Geometría Análitica son:

Ahora Vamos aclarar esto con Ejercicios y la Solución Respectivamente.

Ejercicio 1

  

1596 - 1650

1596 - 1650

En La Flèche estudió fundamentalmente a los clásicos, filosofía y lógica en la tradición aristotélica. En cambio, bajo la influencia de Clavius, del Collegio Romano ---el centro en el cual se formaban los cuadros de los jesuítas---, los centros educativos de esta orden prestaron un especial interés por las matemáticas de la época. Así pues, Descartes, bajo la atenta mirada del padre Jean François, entró en contacto con los textos matemáticos de la época probablemente a través de la obra crítica de Clavio.

Sin embargo, según expone el propio Descartes en la introducción al Discours de la méthode [Discurso del método] las enseñanzas que recibió no le satisfacían, exceptuando las de la matemática porque proporcionaban un conocimiento verdadero. La verdad como garantía del conocimiento es uno de los leitmotivs de Descartes a lo largo de toda su filosofía. Por esta razón pensó que toda forma de pensamiento debería basarse en los mismos principios en los que se basaban las matemáticas: simplicidad y claridad. Estas bases se hallan expuestas de forma específica en las inacabadas Regulæ ad directionem ingeniï [Reglas para la dirección del espíritu] y en el ya citado Discurso del método.

Los estudios de derecho los realizó en la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo el grado en 1616. Este mismo año se alistó en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando estaba estudiando matemáticas y mecánica bajo el influjo del científico holandés Isaac Beeckman, se planteó la necesidad de establecer una ciencia unificada que fuese apta y útil para el estudio de la Naturaleza. Esta concepción de la unidad del conocimiento no le abandonaría jamás. En 1619 se unió al ejército de Baviera.

Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En 1623, hallándose en París, entró en contacto con el padre mínimo Marin Mersenne, circunstancia indispensable para poder mantener un nexo vivo y permanente con el resto de eruditos de Europa. Viajó a Italia para conocer a Galileo Galilei, pero la fortuna no le acompañó y nunca llegó a producirse el encuentro.

Cuando en 1628 decidió retirarse de la vida cortesana de París y establecerse definitivamente en un lugar tranquilo, eligió Holanda ---los Países Bajos--- en los que permaneció los siguientes veinte años. Fueron años de reflexión, de meditación, de trabajo, y de producción. Se ha dicho que Descartes, descontento con las enseñanzas que se impartían en los Centros más prestigiosos basadas en los textos de los filósofos de la Antigüedad, se propuso substituirlas por su nueva visión del conocimiento. Recién acabado de establecerse en Holanda, inició esta tarea con un tratado de filosofía de la naturaleza, Le Monde, ou Traité de la lumière [El Mundo, o Tratado de la luz]. Se basaba en las ideas copernicanas, defendidas por Galileo. Pero cuando éste fue condenado por el Santo Oficio de Roma, decidió no publicar su tratado

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A pesar de que nunca perdió el contacto, a través de Mersenne, con los pensadores franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann, en Holanda conoció, entre otros, a Mydorge, Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con alguno de ellos se estableció una auténtica amistad. Ellos le instaron para que publicara sus ideas, lo cual Descartes hizo con un tratado sobre ciencia que tenía por título
Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie [Discurso del método para razonar correctamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría]. Escrito en francés ``para que lo pudieran entender hasta las mujeres", se publicó en Leyden en 1637. Refiriéndose a este Tratado, dice a Mydorge

En la Dióptrica y los Meteoros he intentado mostrar que mi método es
superior que el método vulgar, y con la Geometría lo he demostrado.

Primera edición del “Discours de la Methode” de R. Descates (1637) 

Este texto está íntimamente ligado con el Tratado, no publicado, de la Luz y también con un texto inacabado de juventud, las Regulæ. Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos a los de óptica, astronomía y geometría de los currículums habituales. Además constituyen un ejemplo de la unidad del pensamiento, por lo menos, por lo que se refiere a la ciencia. En la Geometría estudia los óvalos [de Descartes], que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris.

Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética. Por esta razón publicó Méditationes de prima philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les passions de l'âme (1649 ), etc. Los Principia Philosophiæ constan de cuatro partes que versan sobre el conocimiento humano, sobre los principios de las cosas materiales, sobre el mundo visible, y sobre la Tierra. En dicho tratado sostiene ---en la línea de Galileo--- que el estudio del universo debe reducirse a la matemática a través de una cierta mecánica. Sin embargo, sus presupuestos metafísicos eran muy rígidos ---no aceptaba la posibilidad de la ``acción a distancia", ni tampoco la existencia del vacío, etc.---, y le impidieron darse cuenta de la importancia del fenómeno de la gravedad. En este sentido es paradigmático el ejemplo de su demostración de la ley de la refracción de la Dioptrique, basada más en las ``cualidades", en la línea clásica, de la luz que en un modelo matemático como el que ofrecería Pierre de Fermat, basado en el principio de la mínima acción: ``la luz sigue el camino más breve". Sin embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad, que su mathesis fue bien acogida por los pensadores de la generación siguiente y halló su síntesis ---en el tercer tercio del siglo XVII--- en la obra genial de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.

En 1647, con ocasión de un viaje a París, Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el cual sostuvo una discusión acerca de la existencia del vacío en la Naturaleza.

En 1649, cuando Descartes era considerado uno de los sabios más notables de Europa, la reina Cristina de Suecia le persuadió para que se instalase en su corte de Estocolmo. Las consultas de la reina a altas horas de la noche y de la madrugada ---que quebraban las costumbres de Descartes--- junto con el rigor del frío en Suecia en invierno, llevaron a Descartes a contraer, a los pocos meses de estancia en Estocolmo, una neumonía que pondría fin a su vida el 11 de febrero de 1650, cuando aún no había cumplido 54 años.

Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa. Pero, con la perspectiva del tiempo ---sin pretender cuestionar en absoluto su importancia como pensador global y como filósofo de una influencia decisiva en el pensamiento occidental moderno---, podemos afirmar que, de entre todas, la obra que realmente supuso una revolución en la manera de entender la disciplina de la que trataba es la Géométrie. Todavía mantiene, en gran parte, toda su vigencia. Es por esta razón que le dedicaremos un poco más de atención que al resto de sus obras. 

La importancia matemática de “La géometrie” hizo que, poco después de su aparición, se publicara separadamente del Discurso 

 

Los problemas de la geometría griega eran, según la clasificación de Pappos, de tres tipos: planos, sólidos y grámicos, según que, para resolverlos, bastasen la regla y el compás, se requiriese además alguna de las secciones cónicas o, en fin, algún tipo de curva que no fuese ninguna de éstas, como la cuadratriz, la espiral de Arquímedes, la concoide, la cisoide, etc. Ahora bien, en la época de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo gracias a las aportaciones de muchos ilustres geómetras, de entre los cuales, en Francia, cabe destacar a François Viète. Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas curvas, no ya por medio de una característica geométrica definitoria, sino por medio de una expresión algebraica cerrada que, en el más simple de los casos, es una ecuación polinómica en dos variables.

Con este bagaje Descartes, en el Libro I, De los problemas resolubles por medio de rectas y circunferencias, analiza los problemas que los griegos resolvían con el uso exclusivo de la regla y el compás, observando que, con estos instrumentos, puede sumar, restar, multiplicar, y dividir dos segmentos dados, y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea, respectivamente, la suma, diferencia, producto, y cociente de las longitudes de los segmentos dados. Y, además, puede extraer la raíz cuadrada de un segmento dado. En breve, dados dos segmentos de longitudes a y b, puede construir los segmentos cuyas longitudes resepctivas sean a+b,a-b, ab, a/b, y . Para ello, sin embargo, Descartes precisa de un segmento unidad al cual referir las longitudes de los restantes segmentos rectilíneos. Con esta lectura algebraica de la geometría Descartes rompe con dos de los presupuestos epistemológicos de la geometría griega:

1) Todo segmento tiene asignada una longitud ---un número---, con independencia del carácter conmensurable o inconmensurable del valor de dicha longitud.
2) El producto de dos o tres segmentos es un segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo, con lo que el problema de la dimensión geométrica deja de ser un impedimento para la generalización. Es posible multiplicar más de tres segmentos.

La transcripción algebraica le permite afirmar:

Las ecuaciones de segundo grado son resolubles con regla y compás.

Y puede mostrar cómo hay que hacerlo para resolverlas geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace ---así lo indica en título del ensayo, Géométrie--- es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa.

Además, en uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que:

Cualquier problema resoluble con regla y compás lleva siempre, en última instancia, a una ecuación de segundo grado

Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel.

Sin embargo, el filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que, en la geometría griega, eran difícilmente resolubles o incluso eran imposible resolver. Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos. En síntesis, establece:

Dadas cuatro rectas, dos de las cuales pueden ser la misma, el lugar geométrico de los puntos C del plano tales que el producto de las distancias a dos de las rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras en una proporción dada, es una sección cónica.

El éxito de Descartes es doble. Por un lado, puede reescribir el problema en función de las coordenadas x,y del punto C. Obtiene una ecuación general de segundo grado en x,y.
Entonces, en el Libro II, establece:

Toda ecuación de la forma

es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante .

Se plantea entonces la cuestión:

¿Tiene sentido plantear el resolver el problema cuando hay más de cuatro rectas?
¿Es posible resolverlo?

  

Fuente: uptc.edu.co

1) Considera la función f(x) = x² + 1 para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor de la función si x = -2?

b) ¿Cuál es el valor de la función si x = 3?

c) Construye la gráfica de la función.

d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

e) ¿Qué tipo de gráfica representa la función?

2) El propósito de este ejemplo es observar el comportamiento de la función

f(x) = x² + 1 para valores cercanos a un valor c. Esto es, ¿están los valores de f(x)

cerca de algún valor en particular cuando x se aproxima a un número? ¿Cuál es ese valor? Utiliza la función dada para contestar las preguntas a continuación.

a) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar.)

 c) ¿Cómo comparas el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda y el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Observa las respuestas obtenidas en las preguntas a y b)

 d) ¿Cómo comparas el valor de la función cuando x = 3 con el valor a que se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?

Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

Propiedades de límites:  Sean n un entero positivo, k una constante y f,g funciones que tengan límites en c.  Entonces:

Nota: En este ejemplo se puede observar que el valor de la función cuando x = 3 es igual al valor del límite. Esta propiedad la tienen las funciones polinómicas, esto es, el límite cuando x se aproxima o tiende a c se puede calcular sustituyendo c por x en el polinomio.  Esto es, para cualquier polinomio p(x) y cualquier número real c  tenemos que:

El dominio de f contiene a todos los números reales excepto 1. Nota que no nos interesa hallar el valor de f(x) en 1, puesto que la función no está definida para ese valor. Lo que se busca es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1?

Es importante entender que el límite L de f(x) cuando x se aproxima o tiende a c no depende del valor de f(x) en x = c. El límite está determinado sólo por los valores de f(x) cuando x está cerca de c.

Completa la siguiente tabla de valores para cuando x se acerca a cero por la derecha:

¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la derecha?  ¿Se acercan los valores de f(x) a un valor en particular?

Completa la siguiente tabla de valores para cuando x se acerca a cero por la izquierda:

¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la izquierda?  ¿Se acercan los valores de f(x) a un valor en particular?

Observamos que cuando x tiende a cero por la derecha, los valores de la función que son positivos, se convierten arbitrariamente grande. Es decir, los valores de la función aumentan.  Mientras que, cuando x tiende a cero por la izquierda, los valores de la función son negativos, se convierten arbitrariamente menores. Es decir, los valores  de la función  disminuyen.   Gráficamente en ambos casos, f(x) crece o decrece sin tope, sin fronteras, como se ilustra a continuación:

 Nota: El símbolo de infinito no significa que el límite existe, no representa un número real. Por el contrario, nos dice que el límite no existe. Simboliza el comportamiento no acotado (sin fronteras) de f(x) cuando x tiende a c. De manera que, al decir que "el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito" estamos diciendo que el límite no existe.

Los tipos de límites en los que f(x)  crece o decrece sin cota  (es decir, sin frontera) cuando x tiende a c se llaman límites infinitos.

es tal que f(c) no es igual a cero y g(c) = 0, y tanto f como g son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c, la gráfica de esta función tiene una asíntota vertical.

Completa la siguiente tabla de valores según x aumenta indefinidamente.

Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x) se aproximan a cero  según  x  aumenta  indefinidamente.   Esto  se  representa  simbólicamente

representan los límites en el infinito. En ambos casos, la recta  y = L  se conoce como la asíntota horizontal.

Nota: La gráfica de una función de x puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales.  Los límites en el infinito comparten muchas propiedades de los límites discutidos anteriormente.

.

.

es una asíntota horizontal si el grado de f(x) es el mismo grado de g(x),   y,

      f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ...a₁x¹ + a₀,     g(x) = b_nxⁿ + b_n-1x ^n-1 + ... + b₁x¹ + b₀.

Al comparar las primeras tres funciones racionales se observa que:

1) el grado del numerador es menor que el denominador y el límite de la función es cero.

2) los grados de los polinomios en el numerador y el denominador son iguales, por tanto, el límite es el cociente de los dos coeficientes dominantes: -2 y 3.

3) el grado del numerador es mayor que el del denominador y no existe el límite.