Introducción a límite
 

x	f(x)
2.9
2.99
2.999
2.9999

b) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar.)

x	f(x)
3.1
3.01
3.001
3.001

Límites
La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .
Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.
Teorema: El límite,
existe si el límite por la izquierda,
y el límite por la derecha,
son iguales.

Ejemplos para discusión: Para hallar el límite observando tabla de valores y la gráfica en cada una de las siguientes funciones.
1) Sea f(x) = x² + 1. ¿A qué valor en particular se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?
Simbólicamente, se escribe:
Diez es el valor a que se aproxima la función cuando x se aproxima a 3.

2) Sea:

3) Sea
El dominio de f consiste de todos los números reales excepto cero. ¿Qué ocurre en f(x) según x se aproxima o tiende a cero?

4) Considera

¿Qué ocurre cuando x tiende a cero en f(x) por la izquierda y por la derecha?

Ejemplos para discusión: Calcula el límite mediante proceso algebraico.

4)

Límites infinitos

Considera la función:

x	1000	100	10	0.1	0.01	0.001

x	-1000	-100	-10	-0.1	-0.01	-0.001

Esto es,

Considera la función:

Cuya gráfica es:        
¿Cómo es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a cero por la izquierda y por la derecha de cero?

Por tanto,

 Asíntotas Verticales:

Si:

Ejemplo:  Dibuja la gráfica de f que satisfaga las siguientes condiciones:
Ejercicio: Para cada una de las siguientes funciones dibuja la gráfica y halla la asíntota vertical. Calcula  el límite de cada función para cuando x→ 0.


Límites en el infinito

Los tipos de límites en los que f(x) tiende a algún valor finito cuando x se hace infinito se conocen como límites en el infinito.

 Ejemplo: Considera la función:

x	1	2	10	100	1000	10000

como:

Completa la próxima tabla de valores según x disminuye indefinidamente.

x	-1	-2	-10	-100	-1000	-10000

Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x)  se  aproximan  a cero  según  x  disminuye  indefinidamente.  Esto  se  representa simbólicamente

como:

Si f es una función y L es un número real, entonces:

En el ejemplo anterior como:
la asíntota horizontal es y = 0.  Observa la gráfica a continuación: 

Teorema: Si r es un número positivo y c un número real cualquiera, entonces :
Además, si x^r está definido para x<0, entonces:
 Ejemplos para discusión: Halla:

  
Asíntotas verticales y horizontales:

Teorema:  Si:

es una función donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas con factores no comunes, entonces:
i) la recta x = c es una asíntota vertical si g(c) = 0.
ii) la recta y = 0 es una asíntota horizontal si el grado de f(x) (en el numerador) es menor que el grado de g(x) (el denominador).

Ejemplo: Halla las asíntotas verticales y horizontales para:

Límites en el infinito de las funciones racionales

Para la función racional:

donde f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₀ y g(x) = b_m x^m + b_m-1 x^m-1 + ... + b₀ se tiene que


Ejemplos para discusión: Halla:


Ejercicio: Considera la función:
1) Halla:
a) las asíntotas verticales y horizontales

c) el intercepto en x y el intercepto en y
2) Construye la gráfica.

Límites de Funciones Transcendentales
Límite de Funciones Trigonométricas
Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:
Recuerda: Las siguientes identidades trigonométricas:

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:

Límites trigonométricos especiales:

Ejemplos para discusión:

Ejercicio adicionales:  Halla:

Respuestas:
1) 1,  2) 0,  3) -1,  4) ½  5) 1,  6) 1,   7) -1,   8) ½

Límite de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Teorema:  Para cualquier número real c:



Teorema:







_{Fuente: inter edu}