1596
- 1650
31
de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes),
Touraine 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia.
René Descartes es un filósofo
integral cuya obra Géométrie
[Geometría] ha jugado un papel muy
importante tanto en su sistema filosófico
global cuanto en la historia del pensamiento
matemático. Por esta razón es
de gran provecho releerla de nuevo para comprender
la evolución de dicho pensamiento antes
y después de Descartes.
Descartes fue educado en el colegio de los jesuítas
de La Flèche de Anjou. Ingresó
a los nueve o diez años y permaneció
en la institución hasta 1615. Al parecer,
por motivos de salud, se le permitía
permanecer en la cama hasta las once de la mañana,
una costumbre que Descartes mantendría
a lo largo de toda su vida.
1596
- 1650
En
La Flèche estudió fundamentalmente
a los clásicos, filosofía y lógica
en la tradición aristotélica.
En cambio, bajo la influencia de Clavius, del
Collegio Romano ---el centro en el
cual se formaban los cuadros de los jesuítas---,
los centros educativos de esta orden prestaron
un especial interés por las matemáticas
de la época. Así pues, Descartes,
bajo la atenta mirada del padre Jean François,
entró en contacto con los textos matemáticos
de la época probablemente a través
de la obra crítica de Clavio.
Sin embargo, según expone el propio Descartes
en la introducción al Discours de
la méthode [Discurso del método]
las enseñanzas que recibió no
le satisfacían, exceptuando las de la
matemática porque proporcionaban un conocimiento
verdadero. La verdad como garantía
del conocimiento es uno de los leitmotivs de
Descartes a lo largo de toda su filosofía.
Por esta razón pensó que toda
forma de pensamiento debería basarse
en los mismos principios en los que se basaban
las matemáticas: simplicidad y claridad.
Estas bases se hallan expuestas de forma específica
en las inacabadas Regulæ ad directionem
ingeniï [Reglas para la dirección
del espíritu] y en el ya citado Discurso
del método.
Los estudios de derecho los realizó en
la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo
el grado en 1616. Este mismo año se alistó
en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando
estaba estudiando matemáticas y mecánica
bajo el influjo del científico holandés
Isaac Beeckman, se planteó la necesidad
de establecer una ciencia unificada que fuese
apta y útil para el estudio de la Naturaleza.
Esta concepción de la unidad del conocimiento
no le abandonaría jamás. En 1619
se unió al ejército de Baviera.
Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En
1623, hallándose en París, entró
en contacto con el padre mínimo Marin
Mersenne, circunstancia indispensable para poder
mantener un nexo vivo y permanente con el resto
de eruditos de Europa. Viajó a Italia
para conocer a Galileo
Galilei, pero la fortuna no le acompañó
y nunca llegó a producirse el encuentro.
Cuando en 1628 decidió retirarse de la
vida cortesana de París y establecerse
definitivamente en un lugar tranquilo, eligió
Holanda ---los Países Bajos--- en los
que permaneció los siguientes veinte
años. Fueron años de reflexión,
de meditación, de trabajo, y de producción.
Se ha dicho que Descartes, descontento con las
enseñanzas que se impartían en
los Centros más prestigiosos basadas
en los textos de los filósofos de la
Antigüedad, se propuso substituirlas por
su nueva visión del conocimiento. Recién
acabado de establecerse en Holanda, inició
esta tarea con un tratado de filosofía
de la naturaleza, Le Monde, ou Traité
de la lumière [El Mundo, o Tratado de
la luz]. Se basaba en las ideas copernicanas,
defendidas por Galileo. Pero cuando éste
fue condenado por el Santo Oficio de
Roma, decidió no publicar su tratado
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A pesar de que nunca perdió el contacto,
a través de Mersenne, con los pensadores
franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann,
en Holanda conoció, entre otros, a Mydorge,
Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con
alguno de ellos se estableció una auténtica
amistad. Ellos le instaron para que publicara
sus ideas, lo cual Descartes hizo con un tratado
sobre ciencia que tenía por título
Discours de la méthode pour bien conduire
sa raison et chercher la Verité dans
les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique,
Les Météors, et la Géométrie
[Discurso del método para razonar correctamente
y buscar la verdad en las ciencias, seguido
de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros,
y la Geometría]. Escrito en francés
``para que lo pudieran entender hasta las mujeres",
se publicó en Leyden en 1637. Refiriéndose
a este Tratado, dice a Mydorge
En la Dióptrica y los Meteoros
he intentado mostrar que mi método es
superior que el método vulgar, y con
la Geometría lo he demostrado.
Primera edición
del “Discours de la Methode” de
R. Descates (1637)
Este texto está íntimamente ligado
con el Tratado, no publicado, de la Luz y también
con un texto inacabado de juventud, las Regulæ.
Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos
a los de óptica, astronomía y
geometría de los currículums habituales.
Además constituyen un ejemplo de la unidad
del pensamiento, por lo menos, por lo que se
refiere a la ciencia. En la Geometría
estudia los óvalos [de Descartes],
que, en la óptica, utiliza para hacer
lentes, en la Dióptrica da las
leyes matemáticas de la reflexión
y de la refracción, y en los Meteoros
las usa para explicar el porqué del arco
iris.
Pero Descartes quería también
aportar sus nuevos puntos de vista en los campos
de la filosofía, la teología,
y la ética. Por esta razón publicó
Méditationes de prima philosphia
(1641) y Principia Philosophiæ (1644),
Les passions de l'âme (1649 ), etc.
Los Principia Philosophiæ constan
de cuatro partes que versan sobre el conocimiento
humano, sobre los principios de las cosas materiales,
sobre el mundo visible, y sobre la Tierra. En
dicho tratado sostiene ---en la línea
de Galileo--- que
el estudio del universo debe reducirse a la
matemática a través de una cierta
mecánica. Sin embargo, sus presupuestos
metafísicos eran muy rígidos ---no
aceptaba la posibilidad de la ``acción
a distancia", ni tampoco la existencia
del vacío, etc.---, y le impidieron darse
cuenta de la importancia del fenómeno
de la gravedad. En este sentido es paradigmático
el ejemplo de su demostración de la ley
de la refracción de la Dioptrique,
basada más en las ``cualidades",
en la línea clásica, de la luz
que en un modelo matemático como el que
ofrecería Pierre
de Fermat, basado en el principio de
la mínima acción: ``la luz
sigue el camino más breve". Sin
embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad,
que su mathesis fue bien acogida por
los pensadores de la generación siguiente
y halló su síntesis ---en el tercer
tercio del siglo XVII--- en la obra genial de
Isaac Newton y Gottfried
Wilhelm Leibniz.
En 1647, con ocasión de un viaje a París,
Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el
cual sostuvo una discusión acerca de
la existencia del vacío en la Naturaleza.
En 1649, cuando Descartes era considerado uno
de los sabios más notables de Europa,
la reina Cristina de Suecia le persuadió
para que se instalase en su corte de Estocolmo.
Las consultas de la reina a altas horas de la
noche y de la madrugada ---que quebraban las
costumbres de Descartes--- junto con el rigor
del frío en Suecia en invierno, llevaron
a Descartes a contraer, a los pocos meses de
estancia en Estocolmo, una neumonía que
pondría fin a su vida el 11 de febrero
de 1650, cuando aún no había cumplido
54 años.
Descartes dejaba una obra
importante y sobretodo novedosa. Pero, con la
perspectiva del tiempo ---sin pretender cuestionar
en absoluto su importancia como pensador global
y como filósofo de una influencia decisiva
en el pensamiento occidental moderno---, podemos
afirmar que, de entre todas, la obra que realmente
supuso una revolución en la manera de
entender la disciplina de la que trataba es
la Géométrie. Todavía mantiene,
en gran parte, toda su vigencia. Es por esta
razón que le dedicaremos un poco más
de atención que al resto de sus obras.
La importancia
matemática de “La géometrie”
hizo que, poco después de su aparición,
se publicara separadamente del Discurso
Los
problemas de la geometría griega eran,
según la clasificación de Pappos,
de tres tipos: planos, sólidos y grámicos,
según que, para resolverlos, bastasen
la regla y el compás, se requiriese además
alguna de las secciones cónicas o, en
fin, algún tipo de curva que no fuese
ninguna de éstas, como la cuadratriz,
la espiral de Arquímedes, la concoide,
la cisoide, etc. Ahora bien, en la época
de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo
gracias a las aportaciones de muchos ilustres
geómetras, de entre los cuales, en Francia,
cabe destacar a François Viète.
Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas
curvas, no ya por medio de una característica
geométrica definitoria, sino por medio
de una expresión algebraica cerrada que,
en el más simple de los casos, es una
ecuación polinómica en dos variables.
Con este bagaje Descartes, en el Libro I, De
los problemas resolubles por medio de rectas
y circunferencias, analiza los problemas
que los griegos resolvían con el uso
exclusivo de la regla y el compás, observando
que, con estos instrumentos, puede sumar, restar,
multiplicar, y dividir dos segmentos dados,
y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea,
respectivamente, la suma, diferencia, producto,
y cociente de las longitudes de los segmentos
dados. Y, además, puede extraer la raíz
cuadrada de un segmento dado. En breve, dados
dos segmentos de longitudes a y b,
puede construir los segmentos cuyas
longitudes resepctivas sean a+b,a-b, ab,
a/b, y 
.
Para ello, sin embargo, Descartes precisa de
un segmento unidad al cual referir las longitudes
de los restantes segmentos rectilíneos.
Con esta lectura algebraica de la geometría
Descartes rompe con dos de los presupuestos
epistemológicos de la geometría
griega:
1) Todo segmento tiene asignada
una longitud ---un número---,
con independencia del carácter conmensurable
o inconmensurable del valor de dicha longitud.
2) El producto de dos o tres segmentos es un
segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo,
con lo que el problema de la dimensión
geométrica deja de ser un impedimento
para la generalización. Es posible multiplicar
más de tres segmentos.
La transcripción algebraica le permite
afirmar:
Las ecuaciones de segundo grado son resolubles
con regla y compás.
Y puede mostrar cómo hay que hacerlo
para resolverlas geométricamente. Conviene
recordar en todo momento que lo que Descartes
hace ---así lo indica en título
del ensayo, Géométrie---
es geometría. De ahí la importancia
de una construcción geométrica
efectiva y completa.
Además, en uno de aquellos momentos de
genialidad que le caracterizan, afirma que:
Cualquier problema resoluble con regla y
compás lleva siempre, en última
instancia, a una ecuación de segundo
grado
Esta afirmación será precisada
y demostrada doscientos años más
tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel.
Sin embargo, el filósofo era consciente
que su método debía ir más
allá y resolver problemas que, en la
geometría griega, eran difícilmente
resolubles o incluso eran imposible resolver.
Por esta razón plantea, a modo de colofón
del Libro I, el problema de las tres y las
cuatro rectas que había sido estudiado
por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos.
En síntesis, establece:
Dadas cuatro rectas, dos de las cuales pueden
ser la misma, el lugar geométrico de
los puntos C del plano tales que el producto
de las distancias a dos de las rectas es proporcional
al producto de las distancias a las otras en
una proporción dada, es una sección
cónica.
El éxito de Descartes es doble. Por un
lado, puede reescribir el problema en función
de las coordenadas x,y del punto C.
Obtiene una ecuación general de segundo
grado en x,y.
Entonces, en el Libro II, establece:
Toda ecuación de la forma
es una cónica y su naturaleza depende
del signo del discriminante .
Se plantea entonces la cuestión:
¿Tiene
sentido plantear el resolver el problema cuando
hay más de cuatro rectas?
¿Es posible resolverlo?
La respuesta
es afirmativa:
No
hay limitaciones espaciales y cualquier problema
lleva a una ecuación polinómica.
Entonces
Descartes plantea y resuelve
el más
simple de los problemas aún por
resolver. Es el problema de las cinco rectas,
cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes
y la quinta es perpendicular a todas ellas.
Obtiene la cúbica semiparabólica:
.
Así pues, de lo que se trata es
1) de
caracterizar las ecuaciones polinómicas
y
2) de
ver, de alguna manera, si las ecuaciones polinómicas
corresponden a problemas
geométricos.
Por
lo que, a la primera cuestión se refiere,
Descartes decide que las únicas curvas
que podemos considerar como geométricas
son aquellas que admiten una caracterización
algebraica polinómica, aun cuando, para
él, esta caracterización sea siempre
subsidiaria. Lo importante es que procedan de
un problema geométrico en el cual se
dé una teoría de la proporción
dependiente. Las curvas cuya teoría
de la proporción es independiente,
las llama mecánicas y las excluye de
la Geometría. Esto será criticado
muy vehementemente por Leibniz
que introducirá las curvas algebraicas
---son las cartesianas--- y las curvas trascendentes
---son las que trascienden el álgebra.
Para
Descartes las curvas geométricas deben
ser construíbles con algún ingenio
que tenga la misma precisión que la regla
y el compás. No hay razón alguna,
según Descartes, para limitarse a estos
dos instrumentos a la hora de resolver problemas
geométricos. De ahí los compases
que Descartes ofrece justo al inicio del Libro
II, De la Naturaleza de las curvas.
Es curioso observar que, con el segundo de sus
compases, se puede construir la cúbica
semiparabólica que resuelve el problema
de las cinco rectas que acaba de analizar. Además
se pueden fabricar curvas de cualquier grado.
Sin embargo, Descartes no plantea el problema
de si toda curva geométrica va asociada
a algún tipo de compás que permita
construirla.
De ahí
la importancia de la segunda cuestión
planteada:
Toda
curva polinómica proviene de un problema
geométrico.
Descartes
lo resuelve afirmando que
Toda
curva geométrica ---polinómica---
proviene de algún problema de las 2n-1
o 2n rectas.
Sin
embargo, como observaría Newton, esta
afirmación es falsa.
A pesar
de que la ecuación de una curva sea,
para Descartes, algo subsidiario, el geómetra
advierte la importancia que tiene conocer la
ecuación de una curva para poder determinar
elementos geométricos de la curva, cuales
son el centro, el vértice, los ejes,
los diámetros, etc. Pero va mucho más
lejos y resuelve ``el problema más difícil
que podía imaginar".
Página del Libro
II de “La géometrie” de Descartes
Este
problema consiste en determinar el ángulo
que forman dos curvas. Recordemos toda la discusión
de la época escolástica acerca
del ángulo de contacto que debía
ser más pequeño que cualquier
ángulo rectilíneo sin ser nulo,
poniendo en tela de juicio la imposibilidad
de la existencia de los infinitésimos.
El ángulo que forman dos curvas se mide
por medio del ángulo que forman las normales
de las curvas en el punto de contacto. Es preciso,
pues, determinar la normal a una curva en un
punto.
Para
ello Descartes introduce el
círculo
osculador de una curva, adelantándose
a la
curvatura de una curva y al
radio de curvatura. El
círculo
osculador a una curva
en
un punto C de la misma, es aquel círculo
que la toca pero no la corta. Es decir, que
es tangente a la curva en el punto C. Su radio
OC, en donde O es el centro de dicho círculo,
nos da la dirección de la normal a la
curva en el punto C. Pero,
¿Cómo
podemos determinar el círculo osculador
a la curva
,
en el punto C?
La respuesta
de Descartes, de este problema geométrico,
es algebraica. Bastará que el círculo
y la curva se corten en un punto doble. Es decir,
tenemos la ecuación de la curva y la
ecuación de la circunferencia del círculo
osculador: Si eleminamos, por ejemplo, y, obtenemos
una ecuación polinómica
que
debe tener un a raíz doble x=a. Esto,
según Descartes, lo podemos expresar
en la forma:
,
en donde
es
un polinomio que corrige el grado
de
y que se obtiene por el
método de
los coeficientes indeterminados, un método
introducido por Descartes y también,
simultáneamente, por Fermat. Ello permite
determinar finalmente los parámetros
v y
s, teniendo en cuenta
que
a es
x.
Todo
ello lo puede aplicar entonces Descartes a la
óptica y a la fabricación de lentes.
Introduce los famosos óvalos
[de Descartes] y los analiza.
Sin
embargo para una comprensión cabal de
su exposición hacía falta familiarizarse
con el lenguaje del álgebra y con las
técnicas de resolución de ecuaciones
polinómicas. Además, los matemáticos
griegos habían planteado, y resuelto,
problemas que no eran planos como la trisección
del ángulo y la duplicación
del cubo. Por esta razón Descartes
ofrece un tercer Libro, De la construcción
de los problemas sólidos y más
que sólidos, en el cual expone los
rudimentos del lenguaje algebraico de los polinomios,
entre los cuales incluye la famosa regla
de los signos que, según John Wallis,
ya era conocida con anterioridad por Thomas
Harriot. Nos indica la manera de resolver las
ecuaciones cúbicas y las cuárticas,
en cuyo caso ofrece un método personal
de una gran originalidad:
Toda
cuártica se puede descomponer como el
producto de dos ecuaciones de segundo grado,
los coeficientes de las cuales se obtienen,
por el método de los coeficientes indeterminados,
resolviendo una ecuación cúbica.
Formalmente, dada la cuártica reducida
, hacemos
Entonces basta determinar los números
reales 
,
,
,
lo cual siempre es posible. Después basta
resolver las dos ecuaciones de segundo grado,
si ello es posible.
Este
método sería el que elegiría
Leonhard Euler para resolver una ecuación
polinómica en general, pero no podemos
garantizar que, para grados superiores, podamos
resolver las ecuaciones que permiten determinar
los coeficientes de las ecuaciones de segundo
grado.
Descartes,
además, establece el enunciado del teorema
fundamental del álgebra en los términos
Podemos
imaginar que una ecuación polinómica
tiene tantas raíces como el grado.
De ahí
el nombre de número imaginario que
se dio a las raíces no reales de las
ecuaciones polinómicas. El primer intento
por demostrar este teorema lo debemos a Jean
le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes,
sin embargo, las únicas raíces
aceptables son las reales positivas ---que llama
raíces positivas. Las negativas---que
llama falsas--- son aceptables porque
son las raíces de la ecuación
polinómica que se obtiene al substituir
X por -X.
Pero
fiel a su propósito geométrico,
Descartes se ve obligado a dar una interpretación
geométrica de las ecuaciones cúbicas
y cuárticas. Entonces establece que toda
cuártica se puede resolver cortando un
círculo y una cónica adecuados.
Establece con toda claridad la equivalencia
que hay entre resolver una cúbica irreducible
en el sentido de Gerolamo Cardano ---de discriminante
negativo--- y la trisección del un ángulo,
mientras que las cúbicas no irreducibles
equivalen a saber doblar un cubo. Da un método
geométrico para trisecar un ángulo
dado.
El carácter
generalizador de su método lo lleva a
preguntarse como podemos resolver geométricamente
una ecuación polinómica, en general.
Pero, en realidad, sólo lo hace para
las quínticas y las séxticas.
La idea consiste en cortar una circunferencia
con una curva adecuada ---en el caso de las
ecuaciones de segundo grado, con una recta;
en el caso de las cúbicas y cuárticas,
con una cónica. Pues bien, en el caso
de las quínticas y las séxticas
se puede recurrir a la cúbica semiparabólica
que ha obtenido en el caso de las cinco rectas,
con lo que su obra se cierra con una unidad
que parecía difícil de conseguir.
No es
ésta la única aportación
que Descartes hizo a la matemática ---recordemos
su método para aproximar con regla y
compás la longitud de una circunferencia
de radio dado, sus contribuciones en aritmética,
su intento por resolver el problema de deBaunne,
su aproximación a la fórmula de
Euler-Poincaré, las curvas algebraicas
que introdujo, como los óvalos, el folio,
etc.---, pero es sin duda la más importante
de todas y una de las más importantes
de la primera mitad del siglo XVII y uno de
los textos básicos de toda la historia
de la matemática. En él, Descartes
no sólo introduce la geometría
analítica o cartesiana sino que
pone los cimientos de la geometría
algebraica.
